Zinsrechnung
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ProzentzeichenZinsrechnung auf Jahresbasis
Zinseszins auf Jahresbasis
Zinsrechnung auf Tagesbasis (act/360)
Zinseszins auf Tagesbasis 

Zinsrechnung auf Jahresbasis

Wenn 100 € ein Jahr lang zu einem Zinssatz von 5% angelegt werden, belaufen sich die Zinsen nach Ablauf des Jahres auf

Zinsen = Kapital * Zinssatz
<=> Zinsen = 100 € * 5% = 100 € * 0,05 = 5 €

Nach Ablauf des besagten Jahres, werden aber nicht nur die Zinsen, sondern auch die zuvor eingezahlten 100 € zurück gezahlt. Diese Summe, hier als Endkapital bezeichnet, berechnet sich folgendermaßen

Endkapital = Kapital + Zinsen
<=> Endkapital = Kapital + Kapital * Zinssatz          l "Kapital" ausklammern
<=> Endkapital = Kapital * (1 + Zinssatz)
<=> Endkapital = 100 € * (1 + 5%)
<=> Endkapital = 100 € * 1,05 = 105 €

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Zinseszins auf Jahresbasis

Wenn Kapital über mehrere Jahre angelegt wird und die anfallenden Zinsen nicht ausgezahlt sondern wieder angelegt werden, so entstehen Zinseszinsen. D.h., dass die Zinszahlung des ersten Jahres im zweiten Jahr ebenfalls verzinst wird.

Hierfür wird das Endkapital eines jeden Jahres bestimmt, dass zum darauf folgenden Jahr erneut verzinst wird.

Im Beispiel werden 100 € zu 5% zwei Jahre lang verzinst.

Endkapital Jahr 1 = Kapital * (1 + Zinssatz)
<=> Endkapital Jahr 1 = 100 € * (1 + 5%)
<=> Endkapital Jahr 1 = 100 € * 1,05 = 105 €

Nach dem ersten Jahr ist der anfängliche Betrag in Höhe von 100 € also auf 105 € angewachsen. Dieser wird im zweiten Jahr nun erneut mit 5% verzinst.

Endkapital Jahr 2 = Endkapital Jahr 1 * (1 + Zinssatz)
<=> Endkapital Jahr 2 = 105 € * (1 + 5%)
<=> Endkapital Jahr 2 = 105 € * 1,05 = 110,25 €

Nach dem zweiten Jahr ist das anfängliche Kapital in Höhe von 100 € nun auf 110,25 € angewachsen.

Die angefallenen Zinsen belaufen sich auf die Differenz des Endkapitals nach zwei Jahren weniger des zu Beginn angelegten Kapitals

Zinsen = 110,25 € - 100 € = 10,25 €

Diese wiederum setzen sich zum einen aus der zwei maligen Verzinsung von 100 € zu 5% (5 € + 5 € = 10 €) und zum zweiten aus der Verzinsung der Zinszahlung aus dem ersten Jahr (5 € * 5% = 0,25 €).

Die Berechnung des Endkapitals, das entsteht, wenn Kapital über mehrere Jahre angelegt wird, lässt sich in einer einzelnen Formel ausdrücken. Diese wird hier zunächst an der obigen Berechnung für das Endkapital von 100 € nach zwei jähriger Verzinsung bei einem Zinssatz von 5% hergeleitet.

Endkapital Jahr 2 = Endkapital Jahr 1 * (1+ Zinssatz)                           l "Endkapital" ersetzen
<=> Endkapital Jahr 2 = Kapital * (1 + Zinssatz) * (1 + Zinssatz)          l Umformung
<=> Endkapital Jahr 2 = Kapital * (1 + Zinssatz)^2

Die Berechnung des Endkapitals von 100 €, dass zwei Jahre lang zu 5% verzinst wird, lautet demnach wie folgt:

Endkapital = 100 € * (1 + 5%)^2
<=> Endkapital = 100 € * 1,05^2
<=> Endkapital = 100 € * 1,1025 = 110,25 €

Diese Formel lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Jahren ausweiten. So würde das Kapital bei den gleichen Konditionen nach zum Beispiel drei Jahren auf folgenden Betrag anwachsen:

Endkapital Jahr 3 = 100 € * (1+ 5%)^3
<=> Endkapital Jahr 3 = 100 € * 1,05^3
<=> Endkapital Jahr 3 = 100 € * 1,157625 = 115,7625 € ≈ 115,77 €

Die allgemein gültige Formel für die Berechnung des Endkapitals nach mehrjähriger Verzinsung lautet:

Endkapital = Kapital * (1 + Zinssatz)^Anzahl Jahre

Sollte wie hier ein Betrag entstehen, der mehr als zwei Stellen nach dem Komma hat, wird dieser (in der Bankenwelt) auf den vollen Cent-Betrag aufgerundet.

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Zinsrechnung auf Tagesbasis (act/360)

Auf zum Beispiel Tagesgeldkonten, werden Zinsen (wie der Name schon sagt) tag genau berechnet. Hierbei machen sich Banken die Sache ein wenig leichter und legen einem jedem Monat 30 Tage und damit einem jedem Jahr 30 * 12 = 360 Tage zu Grunde.

Gemäß dem Fall, dass ein Jahr genau 360 Tage hat, würden die Zinsen für ein volles Jahr folgendermaßen berechnet:

Zinsen = Kapital * Zinssatz

Für eine taggenaue Zinsrechnung werden zunächst die Zinsen für einen Tag berechnet:

Zinsen 1 Tag = Kapital * Zinssatz / 360

Die Zinsen für einen Zeitraum von nun zum Beispiel 19 Tagen, bedeutet das 19-fache der Zinsen, die an einem Tag anfallen:

Zinsen 19 Tage = Kapital * Zinssatz / 360 * 19                    l Umformung
<=> Zinsen 19 Tage = Kapital * Zinssatz * (19 / 360)

Die allgemeine Formel für die taggenaue Berechnung der angefallenen Zinsen lautet demnach

Zinsen = Kapital * Zinssatz * (Anzahl Tage / 360)
<=> Zinsen = Kapital * Zinssatz * (act/360)

Das Endkapital einer taggenauen Verzinsung berechnet sich folgendermaßen

Endkapital = Kapital * (1 + Zinssatz * (act/360))

Aufgrund der Tatsache, dass ein Jahr entweder 365 oder 366 Tage hat, ist der effektive, das heißt tatsächlich gezahlte Zinssatz bei der Berechnung mit der taggenauen Zinsmethode act/360, stets ein wenig höher als angegeben.

Werden zum Beispiel 100 € zu 5% Zinsen für das volle Jahr 2008 angelegt, ergibt sich aus der Berechnung der Zinsen auf Jahresbasis folgende Zinszahlung

Zinsen (Jahresbasis) = 100 € * 5% = 5 €

Die Rendite pro Jahr beläuft sich somit auf

Rendite (Jahresbasis) = 5 € / 100 € = 0,05 = 5%

Für die Zinsmethode act/360 wird zunächst die Anzahl der Tage des Jahres 2008 bestimmt

Anzahl Tage 2008 = 31.12.2008 - 01.01.2008 = 365 Tage

Die Zinsen, nach der entsprechenden Methode berechnet, belaufen sich auf

Zinsen (act/360) = 100 € * 5% * (365 / 360)
<=> Zinsen (act/360) = 100 € * 0,05 * 1,013888... = 5,069444... € ≈ 5,07 €

Die Rendite entspricht demnach

Rendite (act/360) = 5,07 € / 100 € = 0,0507 = 5,07%

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Zinseszins auf Tagesbasis

Aufgrund der unterschiedlichen Anzahl der Tage pro Jahr (365 und 366), können Rechnungen des Zinseszinses nicht in einer allgemeingültigen Formel zusammen gefasst werden. In Folge dessen müssen die Zinszahlungen für jedes Jahr aufs Neue berechnet, oder auf die, wenn auch ungenaue, Berechnung des Zinseszins auf Jahresbasis zurück gegriffen werden.

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Zuletzt aktualisiert am Montag, 26. Dezember 2011 um 11:42 Uhr
 

Kommentare  

 
0 #2 Ingo Wilms 2011-10-24 18:07
Hallo Thomas,

du hast natürlich Recht.

Ein Jahr hat normalerweise 365 Tage. Bei einem Schaltjahr (29. Feb.) sind es 366 Tage.

Gruß
 
 
0 #1 Thomas 2011-10-24 17:53
gute Darstellung! verwunderlich: "ein Jahr hat 364 oder 365 Tage" :lol:
 
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