Barwert
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Die Berechnung des Barwerts dient der Findung des "echten" Zinssatzes einer Investition. Die Besonderheit in der Berechnung liegt darin, dass die verschiedenen Zeitpunkte von Ein- und Auszahlungen berücksichtigt werden.

 

Hierzu folgende Erläuterung:

Wenn 100 € genau ein Jahr lang zu 5% Zinsen angelegt werden, so beläuft sich das Kapital nach einem Jahr auf den eingezahlten Betrag plus die angefallenen Zinsen.

 

Kapital nach 1 Jahr =  Kapital + Zinsen
<=> Kapital nach 1 Jahr = Kapital + Kapital * Zinssatz
<=> Kaptal nach 1 Jahr = Kapital * (1 + Zinssatz)
<=> Kapital nach 1 Jahr = 100 € * (1 + 5%)
<=> Kapital nach 1 Jahr = 100 € * 1,05 = 105 €

 

Das angelegte Kapital von 100 € hat demnach nach einem Jahr einen Wert von 105 €.
Anders herum betrachtet, hat das Kaptial von 105 €, das jedoch erst in einem Jahr ausgezahlt wird, heute den Wert 100 €. Der Barwert von 105 €, die erst in einem Jahr zur Verfügung stehen, berechnet sich anhand der Umstellung obiger Formel folgendermaßen:

 

Barwert (Kapital) = Kapital nach 1 Jahr / (1 + Zinssatz)
<=> Barwert = 105 € / (1 + 5%)
<=> Barwert = 105 € / 1,05 = 100 €

 

Die Berechnung des Barwerts soll nun auf eine taggenaue Berechnung erweitert werden. Aus Gründen der Vergleichbarkeit wird auf kapitaleinkommen.de der Barwert immer anhand der Zinsmethode (act/360) berechnet:

 

Kapital nach 1 Jahr = Kapital + Kapital * Zinssatz * (act/360)        l Umformung
<=> Kapital nach 1 Jahr = Kapital * (1 + Zinssatz * (act/360))       l / (1 + Zinssatz * (act/360))

Kapital = Kapital nach 1 Jahr / (1 + Zinssatz * (act/360))

 

Als Rechenbeispiel legen wir 100 € zum 05.02.2009 zu einem Zins von 5% p.a. nach der Zinsmethode act/360 an. Zum 31.12.2009 sollen die Zinsen ausgeschüttet werden und für das folgende Jahr 2010 ein Zins von 3,5% gelten. Wie berechnet sich die Rendite, wenn die Geldanlage z.B. zum 14.07.2010 ausläuft und das angelegte Kaptial sowie die bis dahin angefallenen Zinsen zurückgezahlt werden?

 

Zunächst wird die Zinssahlungen berechnet:

 

1. Zinszahlung = Kapital * Zinssatz * (act/360)
<=> 1. Zinszahlung = 100 € * 5% * ((31.12.09 - 05.02.09)/360)
<=> 1. Zinszahlung = 100 € * 5% * (329/360)
<=> 1. Zinsszahlung = 100 € * 5% * 0,9138...
<=> 1. Zinszahlung = 5 € * 0,9138... = 4,5694... € ≈ 4,57 €

 

Da das Kapital ausgeschüttet wird, verzinsen sich auch im darauf folgenen Jahr 2010 nur die zu Beginn angelegten 100 €. Dieses mal jedoch nur zu 3,5%. Bei Auslaufen der Geldanlage zum 14.07.2010 sind folgende Zinsen angefallen:

 

Zinsen in 2010 = Kapital * Zinssatz * (act/360)
<=> Zinsen in 2010 = 100 € * 3,5% * ((14.07.2010 - 01.01.2010)/360)
<=> Zinsen in 2010 = 100 € * 3,5% * (194/360)
<=> Zinsen in 2010 = 100 € * 3,5% * 0,5388...
<=> Zinsen in 2010 = 3,5 € * 0,5388... = 1,8861... € ≈ 1,89 €

 

Zu diesem Zeitpunkt werden neben den angefallenen Zinsen (1,89 €) auch das angelegte Kapital in Höhe von 100 € wieder ausbezahlt (1,89 € + 100 € = 101,89 €).

Folgende Ein- und Auszahlungen sind bei der beschriebenen Geldanlage angefallen (Auszahlungen sind negativ):

 

 - 100,00 € , 05.02.2009
    + 4,57 € , 31.12.2009 , 329 Tage seit 05.02.2009
+ 101,89 € , 14.07.2010 , 524 Tage seit 05.02.2009

 

Die Frage nach der Rendite muss nun lauten: Bei welchem Zinssatz ergibt es sich, dass die in der Zukunft liegenden Auszahlungen (4,57 € und 101,89 €) heute (05.02.2009) den Wert 100 € haben?

Der Wert einer Zahlung in der Zukunft zum Zeitpunkt heute berechnet sich folgendermaßen:

Wert heute = Zahlung in der Zukunft / (1 + Zinssatz * (act/360))  

Für dieses Beispiel muss allerdings die Summe aus zwei Zahlungen 100 € ergeben:

 

100 € = 1. Zinszahlung / (1 + Zinssatz * (act/360)) + (Zinsen in 2010 + angelegtes Kapital) / (1 + Zinssatz * (act/360))
<=> 100 € = 4,57 € / (1 + Zinssatz * (329/360)) + (1,89 € + 100 €) / (1 + Zinssatz * (524/360)
<=> 100 € = 4,57 € / (1 + Zinssatz * (329/360)) + 101,89 € / (1 + Zinssatz * (524/360)
<=> 100 € = 4,57 € / (1 + Zinssatz * 0,9138...) + 101,89 € / (1 + Zinssatz * 1,4555...)

 

Die Gleichung lässt sich leider nicht mittels einer mathematischen Formel, sondern nur durch "Ausprobieren" lösen, indem man den gewählten Zinssatz Schritt für Schritt der Gleichung anpasst. Ein hierfür hilfreiches Mittel ist die in den gängigen Tabellenverarbeitungsprogrammen vorhandene "Zielwertsuche".

Anhand einer solchen ermittelt, ergibt sich für das Beispiel ein Zinssatz bzw. eine Rendite von 4,51%.

 

100 € = 4,57 € / (1 + Zinssatz * 0,9138...) + 101,89 € / (1 + Zinssatz * 1,4555...)
<=> 100 € = 4,57 € / (1 + 0,0451... * 0,9138...) + 101,89 € / (1 + 0,0451... * 1,4555...)
<=> 100 € = 4,57 € / (1 + 0,0412...) + 101,89 € / (1 + 0,0656...)
<=> 100 € = 4,57 € / 1,0412... + 101,89 € / 1,0656...
<=> 100 € = 4,3890... € + 95,6109... € = 99,9999... € ≈ 100 €

 

Somit haben alle zukünftigen Zahlungen in Summe heute (02.05.2009) den Wert eben der 100 €, die dafür angelegt worden sind.


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Zuletzt aktualisiert am Mittwoch, 16. Februar 2011 um 11:02 Uhr